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    1. El numero de ramas sera: $4-3=1$
      Con lo que tenemos los siguientes ceros: $s=0;s=-1;s=-2$
      y con los siguientes polos: $s=-\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}; s=+\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqr...
...rac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}; s=-\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}$



    2. El lugar de las raices en el eje real se encuentra entre 0 y -1 y a partir del -2 hacia el infinito negativo


    3. Las asintotas son:

      \begin{displaymath}\theta=\frac{180\cdot(2\cdot 0+1)}{1}=180\end{displaymath}




    4. Los puntos de ruptura y de ingreso

      \begin{displaymath}K=-\frac{s^{4}+1}{(s^{3}+3\cdot s^{2}+2\cdot s)}\end{displaymath}


      \begin{displaymath}\frac{dK}{ds}=0\end{displaymath}

      Da una ecuacion bastante complicada,pero bueno sabemos que el punto de ingreso esta entre los ceros -1 y 0 y otro despues del 0



    5. Angulos de salida y de entrada:
      Sale tambien con muchas operaciones



    6. Interseccion con el eje j
      Utilizaremos Routh:

      \begin{displaymath}K\cdot(s^{3}+3\cdot s^{2}+2\cdot s)+s^{4}+1=s^{4}+K\cdot s^{3}+3\cdot K\cdot s^{2}+2\cdot K \cdot s+1\end{displaymath}

      1 $3\cdot K$ 1
      $K$ $2\cdot K$ 0
      $\frac{K\cdot 3\cdot K -2\cdot K}{K}=3\cdot K-2$ 1  
      $\frac{2\cdot K\cdot (3\cdot K-2)-K}{3\cdot K-2}=\frac{6\cdot K^{2}-5\cdot K}{3\cdot K-2}$ 0  



      Para que haya una interseccion con el eje j, una fila tiene que ser cero: K=0; $K=\frac{5}{6}$ .
      El K=0; es el polo 0, es decir nos queda el $K=\frac{5}{6}$

      \begin{displaymath}(jw)^{4}+\frac{5}{6}\cdot (jw)^{3}+3\cdot \frac{5}{6}\cdot (jw)^{2}+2\cdot \frac{5}{6} \cdot (jw)+1=0\end{displaymath}


      \begin{displaymath}(w)^{4}-\frac{5}{6}\cdot j(w)^{3}-3\cdot \frac{5}{6}\cdot (w)^{2}+2\cdot \frac{5}{6} \cdot (jw)+1=0\end{displaymath}


      \begin{displaymath}(w)^{4}-j\frac{5}{6}\cdot (w)^{3}-3\cdot \frac{5}{6}\cdot (w)^{2}+2j\cdot \frac{5}{6} \cdot w+1=0\end{displaymath}


      \begin{displaymath}(w)^{4}-3\cdot \frac{5}{6}\cdot (w)^{2}=-1\end{displaymath}


      \begin{displaymath}2\cdot \frac{5}{6} \cdot w-\frac{5}{6}\cdot (w)^{3}=0\end{displaymath}


      \begin{displaymath}w=0;2-w^{2}=0;w=\sqrt(2) \end{displaymath}


      \begin{displaymath}(\sqrt(2)^{4}-3\cdot \frac{5}{6}\cdot (\sqrt(2)^{2}=-1;-1=-1\end{displaymath}

      Interseca en $j\sqrt{2}$
      Es decir el sistema es estable cuando $K>0.83$ y sera marginalmente estable cuando $K=0.83$ con lo que las raices estaran en el semiplano izquiedo incluyendo el eje j. Ya sabemos que tenemos dos raices en $s=j\sqrt(2)$ y $s=-j\sqrt(2)$.
      Multiplicamos estas dos raices y obtenemos $s^{2}+2$, dividimos $1+KG(s)$ por esta funcion y obtenemos la posicion de las otras dos raices.

      \begin{displaymath}\frac{s^{4}+1+K\cdot (s^{3}+3\cdot s^{2}+2\cdot s)}{s^{2}+2}=...
...+3\cdot s^{2}+2\cdot s)}{s^{2}+2}=s^{2}+\frac{5}{6}+\frac{1}{2}\end{displaymath}

      Calculamos las raices de esta ecuacion obtenida:

      \begin{displaymath}s=\frac{-\frac{5}{6}\pm \sqrt{(\frac{5}{6})^{2}-4\cdot \frac{1}{2}}}{2}=- 0.4166667 \pm 0.5713046i \end{displaymath}

      Con lo que ya tenemos las 4 raices en lazo cerrado.


      Vamos a dibujar el lugar de las raices con el Scilab
       clf;
      s2=%s;
      num2=s2*(s2+1)*(s2+2);
      den2=s2^4+1;
      g2=syslin('c',num2/den2);
      evans(g2)
      xgrid;
      mtlb_axis([-5 2 -4 4])
            
      Image Ej4cEx20090130
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    cajael


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